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    从博弈论的角度分析诈唬(1):什么情况下该诈唬

    这篇文章的主要内容

    数学背景

    最佳策略

    纳什均衡点

    诈唬是扑克游戏的重要组成部分,每一个优秀的玩家都应该牢记。从不诈唬或太频繁诈唬,对一个扑克玩家来说都是巨大的错误。如何找到适当的平衡点?什么时候诈唬才是理想的选择?什么时候,以什么样的频率对某些玩家诈唬才能打出有收益的扑克呢?

    这篇文章会涉及到诈唬的数学背景,并利用博弈论阐述一些策略。

    我应该诈唬吗?

    你正处在河牌圈,牌面是69KA5。

    你确定对手有一手成牌。从他的行动你认为他可能有AA,KK或AK。你的牌是J10。

    你听牌失败。底池是$100,你和对手还各剩$100,你先行动。这时过牌你就输了。(如果对手也过牌,你会输掉摊牌;如果对手下注,你也没足够的钱去诈唬他。)

    假设对手读出了你的牌,在河牌之前,他猜到你在听牌。为了简单起见,我们假设他有80%的概率认为你听同花或卡顺失败,另外20%的概率认为你有87,在河牌击中顺子。

    如果你有87,击中顺子,你应该价值下注,可惜你没有。你有两个选择:过牌放弃,或是尝试诈唬拿下底池。假设你在诈唬时,会全下所有$100,也就是一个底池,你的诈唬频率应该是多少?

    这个问题的答案是什么?

    要回答这个问题,我们需要利用一些数学工具。别担心,不会太复杂,你只需一点代数知识和一些常识。差点忘了,还有博弈论,但是只会用到很常识的部分。

    把问题转化为数学

    我们会用到一些符号。P代表底池大小,B代表下注大小。q代表对手认为你会赢这手牌的概率。在我们的例子中,P=$100,B=$100,q=0.20.如果你对20%这个数字不满意,可以换掉,计算方法是一样的。同样,你也可以改变底池大小和下注大小。

    我们需要用符号表示诈唬频率和对手的跟注频率。x代表诈唬赔率,y代表跟注赔率。如果我们有30%的概率诈唬(x=0.3),从长期来看我们诈唬的频率就是30%。同样,y表示对手会跟注我们下注的频率。

    所以我们初始的问题变成了求x的最佳值。

    期望回报和纯策略

    首先宝马棋牌手机牛牛,追溯到最初始的问题。我们打扑克的目标是什么?赢钱。准确地说,是赢尽可能多的钱。在做决定的时候,我们要问问自己,哪个行动会有最大的期望回报?

    在这个例子中,如果你有优胜牌,你会做价值下注。在你下注以后,对手可能跟注(y),也可能弃牌(1–y)。

    当他跟注时,你会赢下现有的底池,再加上对手跟注的钱,也就是P+B。当他弃牌时,你只会赢得现有的底池,也就是P。(现有底池通常指你下注之前的底池大小。)因此,如果你有一手获胜牌,你的期望回报Ew(w代表获胜winning)会是

    Ew=y(P+B)+(1–y)P

    如果你的牌会输(听牌失败),情况就会变得更复杂。你有可能诈唬(x),也可能过牌放弃(1–x)。

    当你选择诈唬时,对手还是有可能跟注(y),或弃牌(1–y)。当他跟注时,你会损失这次下注,所以你的净回报是负的,也就是–B。当他弃牌时,你会赢得现有底池,也就是P。所以当你诈唬时,你的期望回报会由这两部分组成:

    (1–y)P–yB

    如果你选择过牌(放弃这手牌),你赢不到一分钱,所以这种情况下你的期望回报是0。

    综上所述,当你的牌会输时,你的预期回报El(l代表失败losing)会是

    El=(1–x)0+x[(1–y)P–yB]

    由于第一部分是0,我们可以直接忽略,公式变为:

    El=x[(1–y)P–yB]

    假设你知道对手从不跟注(y=0),你的期望回报公式还可以简化为:

    El=xP

    要最大化期望回报,你必须让x=1,也就是说你应该每次都诈唬。

    但是,如果对手总是跟注(y=1),你的期望回报公式会变为:

    El=–xB

    在这种情况下,为了最大化期望回报,你必须让x=0,这代表你永远不要诈唬。(所以明白了吗?永远不要诈唬一个跟注站。)

    以上计算是知道对手在两种特殊情况下会采取什么策略,然后得出的应对结果,但是这两种情况非常极端,所以这个策略被称为纯策略。在真实的扑克游戏中,对手们会更加飘忽不定,他会有一定的频率跟注你的下注(y不会是0也不会是1)。他采取的会是混合策略。

    最佳策略

    对手可以选择一个跟注频率y,让你无论使用什么策略(也就是无论x是多少),期望回报都不会改变。我们用yopt表示这个跟注频率(在某种程度来看,yopt就是y的最佳值。)

    yopt很容易计算,下一篇文章会讲。

    yopt=P/(P+B)

    在我们的例子中,P=B=$100,所以yopt=1/2。如果对手刚好有一半的机会跟注,你是打不过他的。如果对手根据y=yopt的策略打牌,你的期望回报将会是

    El=x[PB/(P+B)–PB/(P+B)]=0

    (就是把yopt带入求El的公式)

    这时,无论你选择什么策略(无论x是多少),你的期望回报都不会升高或降低。

    有趣的是yopt只取决于底池和下注的大小,不受q(q代表对手认为你会赢这手牌的概率)的影响。这表明yopt并不总是y的最佳值。例如当q=1时,也就是你的对手确定你有优胜牌,这时他不会有一半的跟注频率,因为他根本不会跟注。他会使用y=0的策略。

    后面我们还会说,yopt在什么情况下才是最佳值。

    同样,你也可以选择一个x,让对手无论选择什么样的策略(无论y是多少),他的期望回报都一样。我们用xopt表示这个特殊的x。但是,求xopt的值会更复杂一些,它的公式是

    xopt=qB/[(1–q)(P+B)]

    如果你经常用会输的牌诈唬,对手的期望回报为

    Eop=(1–q)P–qPB/(P+B)

    这个公式里没有y,所以对手的期望回报不会改变。

    在我们的例子中P=B=$100,q=0.2,所以xopt=1/8。如果你有1/8的概率诈唬,对手就赢不了你,就算他非常善于观察,了解你的策略(知道x=xopt)。如果你的诈唬频率高于或低于1/8,善于观察的对手就会剥削你策略上的漏洞。所以当你面对非常优秀的对手时,xopt可以确保你的策略是最佳的。

    优秀的对手用什么频率跟注你的下注?yopt就是答案。如果你根据x=xopt的策略打牌,他选择任何打法都不能提高或降低期望回报。如果对手不使用y=yopt的策略打牌,你可以观察他的漏洞,利用他的错误,选择最佳的回应剥削。

    只有当他的y=yopt时,你是无法剥削他的,这时无论使用怎样的打法,你的期望回报都不会改变。

    记住,如果你不使用xopt的策略,对手也会调整打法来剥削你的漏洞。

    现在你知道xopt和yopt在什么时候情况下才是最佳值了吧:当对手无法剥削你时。在博弈论中,这两个策略(xopt,yopt)被称为纳什均衡点。这在博弈论和经济学中都是非常重要的概念。(没错,就是电影《美丽心灵》中的纳什,1994年诺贝尔经济学奖的获得者)。现在你知道它在扑克中也扮演着重要的角色了吧

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